臣孝通言。臣闻九畴载叙。纪法著于彝伦。六艺成功。数术参于造化。夫为君上者。司牧黔首。布神道而设教。采能事而经纶。尽性穷源。莫重于算。昔周公制礼。有九数之名。窃寻九数。即九章是也。其理幽而微。其形秘而约。重勺聊用测海。寸木可以量天。非宇宙之至精。其孰能与于此者。汉代张苍。删补残缺。校其条目。颇与古术不同。魏朝刘徽。笃好斯言。博综纤隐。更为之注。徽思极毫芒。触类增长。乃造重差之法。列于终篇。虽未即为司南。然亦一时独步。自兹厥后。不继前踪。贺循徐岳之徒。王彪甄鸾之辈。会通之数。无闻焉耳。但旧经残駮。尚有缺漏。自刘巳下。更不足言。其祖暅之缀术。时人称之精妙。曾不觉方邑进行之术。全错不通。刍亭方亭之问。于理未尽。臣今更作新术。于此附伸。臣长自闾阎。少小学算。镌磨愚钝。迄将皓首。钻寻秘奥。曲尽无遗。代乏知音。终成寡和。伏蒙圣朝收拾。用臣为太史丞。比年巳来。奉敕校勘傅仁均历。凡駮正术错三十馀道。即付太史施行。伏寻九章商功篇。有平地役功受袤之术。至于上宽下狭。前高后卑。正经之内。阙而不论。致使今代之人。不达深理。就平正之閒。同欹邪之用。斯乃圆孔方枘。如何可安。臣昼思夜想。临书浩叹。恐一旦瞑目。将来莫睹。遂于平地之馀。续狭斜之法。凡二十术。名曰缉古。请访能算之人。考论得失。如有排其一字。臣欲谢以千金。轻用陈闻。伏深战悚。谨言。

宋代祖冲之。久立差术。至于隋代张冑元等。因而修之。虽差度不同。各明其意。今孝通不达宿度之差移。未晓黄道之迁改。乃执南斗为冬至之恒星。东井为夏至之常宿。率意生难。岂为通理。夫太阳行于宿度。如邮传之过逆旅。宿度每岁既差。黄道随而变易。岂得以胶柱之说。而为斡运之难乎。又案易云。治历明时。礼云。天子元端。听朔于南门之外。尚书云。正月上日。受终于文祖。孔氏云。上日。朔日也。又云。季秋月朔。辰不集于房。孔氏云。集合也。不合则日蚀。随可知矣。又云。先时不及时。皆杀无赦。先时为朔日不及时也。若有先后之差。是不知定朔之道矣。诗云。十月之交。朔日辛卯。又春秋日蚀三十有五。左邱明云。不书朔。官失之也。明圣人之教。不论于晦。唯取朔耳。自春秋以后。去圣久远。历术差违。莫能详正。故秦汉以来。多非朔蚀。而宋代御史中丞何承天。微欲见意。不能详究。乃为太史令钱乐之散骑侍郎皮延宗抑止。孝通今语。乃是延宗旧辞。承天既非甄明。故有当时之屈。今略陈梗概。申以明之。夫理历之本。必推上元之岁。日月如合璧。五星如连珠。夜半甲子。朔旦冬至。自此以后。既行度不同。七曜分散。不知何年更得馀分普尽还复总会之时也。唯日分气分。得有可尽之理。因其得尽。即有三端之元。故造经立法者。小馀尽即为元首。此乃纪其日数之元。不关合璧之事矣。时人相传。皆云大小馀俱尽。即定夜半甲子朔旦冬至者。此不达其意故也。何者。冬至自有常数。朔名由于月起。既月行迟疾无常。三端岂得即合。故必须日月相合。与冬至同日者。始可得名为合朔冬至耳。故前代诸历。不明其意。乃于大馀正尽之年。而立其元。法将以为常。而不知七曜散行。气朔不合。今法唯取上元连珠合璧。夜半甲子朔旦冬至。合朔之始。以定一九。相因行至于今日。常取定朔之宜。不论三端之事。皮延宗本来不知。何承天亦自未悟。何得引而相难耶。

日中星鸟：春分而日与斗中，则曰日中。春为阳中，而春分又为春之中也。方是之时，阳进而中，中以居昼，阴退而中，中以居夜。昼而日在奎，出卯入酉，夜而奎亦出卯入酉。斗建卯之中，昼漏五十，夜之漏亦五十，是谓日中。方阳用事也，故称日云。以此正夫仲之中气，则孟而日疾，季而日迟，从可知也。日行于东而星见于南，则曰星鸟。东际乎南，木以主火，于是取中也，以彼正此也，实本之于冬至之虚也。冬至之日在虚一度，则春分之昏星七度中，而南正中天也。所谓南正中天者，南方之中星见而正乎东也。南方之中星，星是也。彼井鬼柳则过中，张翼轸则未中。若以谓七宿合昏毕见者，孔氏之误也。岂有七宿百九度而于一夕间毕见者哉？此实春分之一时，正位之中星也，非春分之常夜，昏见之中星也。若夫春分之常夜，昏见之中星，则孟而觜参仲，而井鬼，季而柳星张，乃为合度。如得于星中，则孟而昏觜参中，仲而昏井鬼中，季而昏柳星张中，从可知也。

日永星火：夏至而日近斗远，则曰日永，日行极北，斗行极南也，天去地下高而日行地中浅也。阳与阴交，而阳数多、阴数少，不胜乎阳也。日行极北，故日永而暑生于上；斗行极南，故夜短而湿生于下。天去地下高，故日永而形则益；日行地中浅，故夜短而气在后。阳数多故昼数多，阴数少故夜数少。日出乎寅而入乎酉也，阴不胜乎阳，故日出即见，而无物以蔽之，阳方盛也，故称日永而已。以此，正仲之中气，则孟而日迟，季而日疾，从可知也。日行于南而星见于东，则曰星火。南际于东，火生于木，于是取中也，以彼正此也，实本之于冬至之虚也。冬至之日在虚一度，则夏至之昏房二度中，东正中天也。所谓东正中天者，东方之中星见而正乎南也。东方之中星，房是也。彼角亢氐则过中心，尾箕则未中，若以谓七宿合昏毕见者，孔氏之误也。岂有七宿七十七度，而于一夕间毕见者哉？此夏至一时之中星也，非夏至之常夜，昏见之中星也。若夫夏至之常夜，昏见之中星，则孟而翼轸，仲而角亢，季而氐，房心乃为合度。如得于房中，则孟而昏翼轸中，仲而昏角亢中，季而昏氐房心中，从可知也。

宵中星虚：秋分而斗与日中，则曰宵中。秋为阴中，而秋分又居秋之中也。方是之时，阴进而中中以居昼，阳退而中中以居夜。昼而日在角，出卯入酉，夜而角亦出卯入酉。斗建酉之中，夜漏五十，昼之漏亦五十，是谓宵中，方阴用事也，故称宵云。于宵之中，实知日之所在也。得日之所在也，得日之所在则知中星之度也，故必举宵与日相成也。以此，正仲之中气，则孟而宵疾，季而宵迟，从可知也。夫既得于宵中，则晦朔弦望朓朒举可考矣。孰谓不言月乎？日行于西而星见于北，则曰星虚。西际乎北，金以生水，于是取中也，以彼正此也，实本之于冬至之虚也。冬至之日在虚一度，则秋分之昏虚九度中，而北正中天也。所谓北正中天者，北方之中星见而正西也。北方之中星，虚是也。《释天》曰：「北陆，虚也」。又曰：「玄枵，虚也」。彼斗牛女则过中，危室壁则未中。若以谓七星皆以秋分日见，以正三秋者，孔氏之误也。岂有七星九十六度，而于一夕间毕见者哉？此秋分之一时，正位之中星也，非秋分之常夜，昏见之中星也。若夫秋分之常夜，昏见之中星，则孟而尾箕，仲而斗牛，季而女虚，危乃为合度。如得于虚之中，则孟而昏尾箕中，仲而昏斗牛中，季而昏女虚危中，从可知也。

日短星昴：冬至而日远斗近则曰日短。日行极南，斗行极北也，天去地下浅，而日行地中深也。阴与阳易而阴数多，阳数少，阳不胜乎阴也。日行极南，故日短而寒生于上。斗行极北，故夜永而燥生于下。天去地下浅，故日短而形则损。日行地中深，故夜永而气在先。阳不胜乎阴，故日虽出而未见，有蔽之者也。阴数多故夜数多，阳数少故昼数少。日出乎卯而入乎申也，阳方易也，故称日短云。以此正仲之中气，则孟而日疾，季而日迟，从可知也。日行于北而星见于西，则曰星昴。北际乎西，水生于金，于是取中也，以彼正此也，实本于冬至之虚也。冬至之日在虚一度，则昴七度中而南正中天也。所谓南正中天者，南方之中星见而正乎北也。南方之中星，昴是也。故《释天》曰：「西陆，昴也」。又曰：「大梁，昴也」。彼奎娄胃则过中，毕觜参则未中，若以谓七星并见，以正冬之三节者，孔氏之误也。岂有七宿八十三度，而于一夕间毕见者哉？此冬至之一时，正位之中星也，非冬至之常夜，昏见之中星也。若夫冬至之常夜，昏见之中星，则孟而室壁，仲而奎娄，季而胃昴，毕乃为合度。如得于昴之中，则孟而昏室壁中，仲而昏奎娄中，季而昏胃昴毕中，从可知也。历代儒生执常夜昏见之中星，乃以此中星为季月之时，如王肃、何承天、梁武帝、虞𠠎、王孝通、李淳风辈，号知历者，尚且惑之。至隋刘焯始知日短星昴，以正仲冬为合朔。然本之于冬至之日，日在危则非也，又以尧元年丙子亦非也。傅仁均虽亦知此为合朔，而专守昴中，使其历法阔疏，见非于王孝通。至唐一行始考冬至在虚一度，而得鸟火虚昴之正焉。刘向谓春张昏而中可以种谷，夏大火昏而中可以黍菽，秋虚昏而中可以种麦，冬昴昏而中可以斩伐田猎，盖藏亦是类也。

问：由汉而降，历法之行于天下，盖世异而代不同。虽其乘除因革之际，冰炭楚越，莫能相一，及推原其流，孰不自于古先圣人所以历象授时之意哉？夫尧命羲和，舜在玑衡，载之二《典》者，示其可以为万世之常行也。三代历法，于他书无所经见，必亦因尧之旧耳。而汉之古历乃有黄帝、颛帝、夏、商、周、鲁之六者各自为家，何耶？三代之改正朔，见于经者亦惟其统有天地人之别耳。后世历家乃谓其统既殊，则立元亦异。天正之元甲寅，人正之元乙卯，相为经纬。或又谓颛帝用乙卯，虞则戊午，夏则丙寅，商则甲寅，周则丁巳，鲁则庚子，言历者因是而有异同，又何耶？推步之法，在古止于正日景以求中星，而归其闰馀。至唐都、洛下闳作《泰初历》，始以甲子朔旦夜半冬至，而日月五星皆会于子，有合璧连珠之验，其比于古之推步，是耶？非耶？《泰初》因律生历，以八十一首为统母。刘歆更以《春秋》、《易》象配合其数。而扬子云作《太玄》以准《易》，亦谓与《泰初》合。及唐一行《开元历》推本大衍之数，则以谓其法始出于《易》。然则其与《泰初》之起于律者，同耶？异耶？贾逵推金火革之意，谓数不可贯，必有更改。蔡邕言不必以一家术取合，明历当随时而变也。而姜岌复谓历法可以永载用之，无斗历改宪之理，岂其然耶？祖冲之始立岁差限，张胄玄、傅仁均辈因之，盖言天之躔度岁久必差也。而王孝通复谓茍尧时星昴昏中差至东壁，由此积之，将至寒暑易位，岂其然耶？斗分之或远或近将安所定？章蔀统元之或多或寡将安所从？奚若而准日法？奚若而准二至？先大先小之孰优？气盈朔虚之孰辨？何以验其陵历而尽得《春秋》之日食？何以推其逆数，而举合六经之甲子？此皆载在史志，可得而备考者，试各求其至当之说。仍之夫汉自《泰初》至《乾象》凡三家，自魏黄初至隋张胄玄凡十四家，自唐《戊寅元》至五代《钦天》凡十一家，本朝自《应天》至《统天》凡九家。以至《皇极》、《稽极》、《经纬》、《光宅》、《景龙》、《符天》、《明元》之有其书而不行，《正蒙》、《齐政》、《万分》之用而非正。其间固有疏者密者、醇者驳者，合乎古者、不合乎古者，悉条而数之，将以究观诸君博通天人之学。

纲运之事，属之󲦤绅，犹有以侵移闻者，尚谁使乎？黜官一资，聊示薄罚。可。